F．克莱因: 《高观点下的初等数学》节选

Aha

老师必须是一个外交家，要考虑到小孩子的心理，以便抓住他们的兴趣；而且也只有用直觉上可以理解的方式讲授内容才能取得成功，到了高年级用比较抽象的讲法作公理化的解释。 在各年级教学中，甚至在大学中，都应当把数学同处在特定智力发展阶段上的学生真正感兴趣的东西联系起来，而且无论如何是可以做到的。这正是近年来大学中努力注重应用数学的背景。中学里从来不象大学里那样忽视这种需要。 实际上，数学的发展是象树一样的，它并不是有了细细的小根就一直往下长，倒是一方面根越扎越深，同时以相同的速度使枝叶向上生长。撇开比喻不说，数学也正是这样，它从对应于人类正常思维水平的某一点开始发展，根据科学本身的要求及当时普遍的兴趣要求，有时朝着新知识方向进展，有时又通过对基本原则的研究朝着另一方向进展。┅┅对于数学中的基础研究来说，是不存在最终的终点的，也不存在最初的起点，来为数学提供绝对的基础。 数学的生命，数学的最重要的动力，数学在各方面的作用，却完全有赖于应用，即取决于那些纯逻辑内容和其他一切领域之间的相互联系。把应用拒之于数学门外，就等于只从骨架中去找活生生的动物的活力，而不考虑肌肉，神经和组织，不考虑动物的本能，总之就是不考虑动物的生命。 我请求你们一般地不要把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子来使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚：从实际情况看，承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法，而其他任何一种约定，总要强迫我们考虑许多特例。确实必须不急不躁，让学生有时间在接受这种知识后思想转过弯过来。尽管很容易说明白，其他的约定都是不好的，但必须向学生强调，普遍有用的约定确实存在，这个事实真是奇妙之至！同时使他们明白，这绝不是不言而喻的。 从历史上看，无理数概念的起源当然在于几何直觉，在于几何学的要求。 无理数的一般概念首先出现在十七世纪末，它是引入十进制小数的结果，而十进制小数的使用是随着对数表的出现而在那时确立下来的。┅┅无理数概念的建立，就是这样。它在某种程度上是自然而然地产生的，是考虑十进制小数的结果。 对于普通程度的学生，只要通过例子一般讲明白无理数就足够了。平常也是这么做的。特别有天资的个别学生肯定会要求更完整的解释，给予这些学生以补充解释而不牺牲多数人的兴趣，在教师来说，就是值得赞扬的教学技巧了。 应记住的是：当通常的路径不能获得成功时，不应满足于确定不可能性，而应激励自己去找新的和比较走得通的道路。这样说来，数学思想是无止境的。如果有人对你说数学的推论已不能超越某一点，你可以确信，真正有兴趣的问题正是由此开始。 对这种朴素的直觉信服的程度，当然因人而异，很多人，包括我自己在内，对此感到满足。另一些只有纯逻辑才能的人，则认为直觉是毫无意义的，而且无法想象会有人把直觉当作数学思想的基础。然而这类考虑常常成为新的富有成效的探索的起点。 我想，数学教学和其它事情一样，都应遵循这个规律，至少是大体上遵循。教学内容要考虑到年青人的自然能力，慢慢引导青年接触高深的事物，最后接触抽象的规则。应该走人类从原来朴素的状态到高级知识阶段所走过的道路。经常阐明这个原则是必要的，因为总有这样的人，他们追随中世纪的学究方式，先教最一般的观念，还辩解说这种方法是“唯一科学的方法”。然而这个理由是完全没有事实根据的。科学的教学方法是促使学生科学地思考，绝不是一开始就叫他们面对一堆枯燥的科学词藻。 推广这种自然而真正科学的教学方法的重大障碍，是缺乏数学的历史知识，这是常常感觉到的。为了弥补这一点，我一直把历史介绍插进书中。我相信已向你们讲清，数学思想之形成是多么缓慢，这些思想最初几乎都是以近乎预言的形式，经过长期发展后，才变成严格的结晶形式，变成大家很熟悉的系统的讲法。我热诚的希望，这种知识能对你们的教学发生持久的影响。

闲闲

那天 给小侄子讲要是学澳洲那样学习 一百内的加减法 他的眼睛都亮了 还有这样上课说 还说他们的老师不会的 中国的教育就是一种填鸭式 要不就是敷衍式